MANTIK VE MATEMATİK

 MANTIK VE MANTIĞIN
MATEMATİK İLE İLGİSİ

MANTIĞIN KONUSU

Mantığın bütün dillerdeki karşılığı Grekçe “logos” terimine dayanır.Logos; akıl, düşünme,ilke,yasa,söz vb. anlamları içerir.Mantık terimi Türkçeye, Arapça “söz,konuşma” anlamına gelen “nutka” (nutuk) sözcüğünden geçmiştir.

<div align="center">Mantık terimi iki anlamda kullanılır:
Doğru düşünme biçimi olarak:Düşünme;nesne,olay veya onların yerini alan semboller arasında bağ kurma etkinliğidir.Düşünmede semboller gelişi güzel veya düzenli bir şekilde birbirini izler.Sembollerin birbirini düzenli ve planlı bir şekilde izlediği düşünme türü, akıl yürütmelerde kendini gösteren doğru düşünmedir.Böyle bir düşünme, aklın bağımsız olarak ayırma, birleştirme ve karşılaştırma etkinliğidir.Doğru düşünme;akıl,ilke ve kurallarına uygun olarak yapılan düşünmedir ve “mantıklı düşünme,düzgün düşünme, tutarlı düşünme” gibi terimlerle de ifade edilebilir. </div>

<div align="center">Doğru düşünme biçimini konu alan disiplin olarak:Mantık,doğru düşünmenin ilke ve kurallarını inceleyen bir disiplindir.*
Mantık,düşünmenin oluşumu ve düşüncelerin doğruluğuyla değil,doğru düşünmenin biçimiyle ilgilenir.Bu biçimsel özellik mantığın bilim ve felsefenin bütün alanlarında kullanılabilecek ve bilgi doğrusuna ulaştırabilecek bir “araç” olmasını sağlar.Çünkü doğru düşünme olmadan gerçekliğin bilgisine yani doğru bilgiye ulaşılamaz.Mantık,doğru bilgiye ulaşmak için doğru düşünmenin biçimsel olarak izlemesi gereken ilke ve kuralları belirlemeye çalışır.Böylece doğrunun iki boyutu ortaya çıkar:Bilgi doğrusu ve mantık doğrusu.
*Disiplin:Felsefi ve bilimsel niteliği olan bilgi etkinliklerin tümü,felsefe ve bilimle ilgili olan bilgilerin bütünü.


Bilgi doğrusu,yargının (düşünce,karar) gerçeğe olan uygunluğudur.Yargı gerçeğe uygunsa “doğru”, değilse “yanlış”tır.Örneğin;”Kar beyazdır.” yargısı doğru, “Kar mavidir.” yargısı yanlıştır.Yargıların doğru veya yanlış olmasına doğruluk değeri denir. Yargıların gerçeğe uygunluğunu araştırmak mantığı değil, bilim ve felsefeyi ilgilendirir.
Bilgi doğrusu yargıların içeriği ile ilgili iken, mantık doğrusu yargılardaki akıl yürütmenin biçimiyle ilgilidir.
Mantık doğrusu,yargının düşünme ilke ve kurallarına uygunluğudur.Mantık doğrusunda tek tek yargıların doğruluğuna değil,yargıların birbirleriyle tutarlılığına bakılır. Mantık doğrusuna uygun bir akıl yürütmede, öncüllerle sonuç arasında zorunlu bir ilişki vardır.


Örnek 1
Öncül→Bütün çiçekler bitkidir.
Öncül→Karanfil bir çiçektir.
Sonuç→O halde karanfil bir bitkidir.
Örnek 1 deki tüm yargılar bilgi doğrusuna uygundur.Ayrıca bu akıl yürütme mantık doğrusuna da uygundur.Çünkü “Karanfil bitkidir.” sonucu öncüllerden zorunlu olarak çıkarılmıştır.
Örnek 2
Öncül→Bütün öğrenciler çalışkandır.
Öncül→Vazo bir öğrencidir.
Sonuç→O halde vazo çalışkandır.


Örnek 2 deki yargılar bilgi doğrusuna uygun değildir. Fakat bu akıl yürütme mantık doğrusuna uygundur. Çünkü “Vazo çalışkandır.” sonucu öncüllerden zorunlu olarak çıkarılmıştır. Örneklerdeki akıl yürütmelerin birinde bilgi doğrusuna uyulmuş,diğerinde uyulmamıştır.Ancak her iki akıl yürütmenin de biçimine bakıldığında mantık doğrusuna uygun oldukları görülür.Bu nedenle her iki akıl yürütme mantıksal olarak geçerlidir.
Mantık doğrusuna uygun olmayan akıl yürütmelere örnek olarak aşağıdakileri göstertebiliriz.
Örnek 3
Öncül→Bütün et yiyenler canlıdır.
Öncül→Bütün kediler omurgalıdır.
Sonuç→O halde bütün kediler nankördür.


Örnek 4
Öncül→Başarmak için çalışmak gerekir.
Öncül→Ben çalışmıyorum.
Sonuç→O halde ben sınıfımı geçerim.
Örnek 3 ün sonucu öncülleri ile çeliştiğinden, örnek 4 teki önermeler arasında ise herhangi bir ilgi kurulamayacağından bu öncüllerden bu sonuçlar çıkmaz.Her iki örnek de mantık doğrusuna uygun olmadığından geçersizdir.
O halde geçerlilik, bir akıl yürütmedeki sonuç önermesinin,öncüllerden zorunlu olarak çıkarılmasıdır.Geçersizlik ise bir akıl yürütmede öncüllerin sonucu zorunlu kılmamasıdır.


Geçerli akıl yürütmeler tümdengelim (dedüksiyon) biçimindeki akıl yürütmelerdir ve mantığın ana konusunu oluşturur.
Akıl yürütme, birbiriyle ilişkili yargılardan sonuç çıkarma işlemidir.Yargı;bir karar,bir düşünce belirten cümledir. Yargı bildiren cümleler önerme adını alır. Akıl yürütmeler önerme adını alan bu yargı cümlelerinden oluşur.
Akıl Yürütme Biçimleri
Akıl yürütmeler günlük dilde “muhakeme” “uslamlama” olarak da adlandırılır.Akıl yürütmeler;tümdengelim,tümevarım ve benzeşim olarak üçe ayrılır.


Tümdengelim (dedüksiyon), aklın genelden özele ve genelden genele izlediği yoldur.Tümdengelimde sonuç,öncül önermelerde açık veya gizli olarak bulunduğundan, zorunlu ve kesin olarak öncüllerden çıkarılır.Bu nedenle, yalnız tümdengelimsel akıl yürütmelerin mantıksal geçerliliği vardır.
Tümdengelim her ne kadar dedüksiyon karşılığı olarak kullanılıyorsa da her dedüksiyon bütünden parçanın yargısına ulaşmaz.Tümden tüme geçiş yapan dedüksiyonlar da vardır.Dedüksiyonun her iki biçiminde de öncüllerle sonuç arasındaki zorunlu ilişkiyi örneklerle gösterelim.


Tümden parçaya gelime örnek: (Genelden- özele)
Bütün meyveler vitaminlidir.
Elma meyvedir.
O halde meyve vitaminlidir.
Tümden tüme geçişe örnek:(Genelden-genele)
Bütün çocuklar neşelidir.
Bütün neşeliler güzeldir.
O halde bütün çocuklar güzeldir.
Tümevarım (endüksiyon),aklın özelden genele izlediği yoldur.Tümevarımda bazı nesnelerin ortak özelliklerinden hareketle, o nesne grubunun bütünü hakkında yargıya varılır.


Örnek
İnsan canlıdır ve ekolojik sistemin bir parçasıdır.
Hayvan canlıdır ve ekolojik sistemin bir parçasıdır.
Bitki canlıdır ve ekolojik sistemin bir parçasıdır.
O halde tüm canlılar ekolojik sistemin bir parçasıdır.
Tümevarımda sonuca, öncülleri destekleyen gözlem ve deneylere dayanarak varılır.Bu yüzden sonuç mantıksal bir zorunluluk değil, içerik hakkındaki olasılığın genellemesidir.Tümevarımın mantıksal geçerliliği yoktur;ama bilimsel güvenirliliği vardır.Çünkü, öncüller deneyle kanıtlanmış önermelerdir.
Benzeşim (analoji,aklın özelden özele izlediği yoldur.Benzeşimde bazı nesnelerin benzerliğinden hareketle biri hakkında verilen bir yargı,diğeri hakkında da verilir.


Örnek
İstanbul ve Ankara büyük şehirdir.
İstanbul’da trafik sıkışıktır.
O halde Ankara’da da trafik sıkışıktır.
Benzeşim gözleme dayalı bazı doğa ve sosyal bilimlerde kullanılır.Sonuç zorunlu ve kesin olmadığından benzeşimde mantıksal geçerlilik yoktur.Ayrıca her zaman kesin sonuç vermediğinden bazen bilimsel güvenirliliği de olmayabilir.
Mantık,akıl yürütme yollarından mantıksal geçerliliği olan tümdengelimi esas alır.Ancak bu,mantığın diğer akıl yürütme yollarıyla ilgili olmadığını göstermez.Çünkü insan aklı,düşünürken tek yönlü bir yol izlemez,bütün akıl yürütme yollarını kullanır.İnsan hangi akıl yürütme yolunu kullanırsa kullansın her akıl yürütme önermelerden,her önerme de kavramlardan meydana gelir.


Kavram oluşturma,önerme kurma ve akıl yürütme kısaca doğru düşünme,belli ilke ve kurallara göre gerçekleşir.Düşünceler arasındaki bağ ve düzeni yöneten bu ilkelere akıl ilkeleri(mantık ilkeleri,düşünme ilkeleri) denir.
Akıl İlkeleri
Akıl ilkeleri,insan zihninin işleyişinde bulunan ilkelerdir. Mantıklı düşünen her insan özel bir çaba göstermeksizin bu ilkelere uyar.Tutarlı düşünme ve mantıksal işlemlerin denetlenmesi akıl ilkelerine göre yapılır.
Akıl ilkeleri; özdeşlik,çelişmezlik ve üçüncü halin olanaksızlığıdır. Ancak bir de bunlara tartışmalı olan yeter-sebep ilkesi eklenebilir.


Özdeşlik (Aynılık) İlkesi
Özdeşliğe göre bir şey ne ise odur.Özdeşlik,benzerlik ya da eşitlik değildir.Çünkü benzerlik ve eşitlik ki ayrı şey arasındaki ilişkidir.Oysa özdeşlik bir şeyin kendisiyle aynı olmasıdır.
Özdeşlik ilkesi gereği, bir akıl yürütmedeki her kavram ve önerme kendisiyle aynı olmalı, kendisinden başka bir şey olmamalıdır.
Bu ilkeye göre bir akıl yürütmenin başında bir kavram veya önerme hangi anlamda düşünülmüşse akıl yürütmenin sonuna kadar aynı anlamda düşünülmelidir.
Örnek
Bütün insanlar ölümlüdür.
Sokrates insandır.
O halde Sokrates ölümlüdür.


Akıl yürütmesinde “ölümlü” kavramı farklı anlamlarda tanımlanabilir. Ölümlü;arkasında eser bırakmayan kişi olarak tanımlanacağı gibi yaşamı sona erecek olan organizma olarak da tanımlanabilir. Ölümlü kavramı ve bu kavramın yer aldığı önerme hangi anlamıyla ele alınmış olursa olsun akıl yürütmenin sonuna kadar aynı şekilde düşünülmelidir.Bu nedenle özdeşlik ilkesi tutarlı düşünmenin zorunlu koşuludur.
Özdeşlik ilkesi, klasik mantıkta “A,A dır.” biçiminde ifade edilir.
Özdeşlik,kendi başına yetersiz bir ilkedir,hiçbir şey anlatmaz.Özdeşlik ilkesi,ancak çelişmezlik ve üçüncü halin olanaksızlığı ilkesiyle birlikte anlam kazanır.Bu iki ilke, türetildikleri özdeşlik ilkesini tamamlar.


Kavram özdeşliğine örnek:...Sevgi,sevgidir. (A,A ’ dır.)
Önerme özdeşliğine örnek:… Sevgi birleştiricidir. Sevgi birleştiricidir.
Çelişmezlik İlkesi
Çelişmezlik,bir şeyin aynı zamanda hem kendisi hem de başkası olmamasıdır.Çünkü,özdeşlik ilkesi gereği her şey kendisine özdeştir.Hiçbir şey kendisinden başkasıyla özdeş olamaz.Bir şeyin kendisinden başka bir şeyle özdeş olduğunu düşünmek çelişkidir.O halde bir şeyin hem kendisi hm de başkası olmaması durumuna çelişmezlik denir.
Çelişmezlik ilkesine göre,hiçbir kavram ve önerme kendisinden başka kavram ve önermeyle özdeş olamaz.


Çelişmezlik ilkesine göre, bir önerme aynı zamanda hem doğru hem de yanlış olamaz.Başka bir deyişle birbiriyle çelişen iki önermenin ikisi birden doğru olamaz.Bunlardan biri zorunlu olarak yanlıştır.
Örnek
A,A ‘ya özdeştir.→”Canlı” , “canlı” ya özdeştir.
A olmayan, a olmayana özdeştir.→”Canlı olmayan” , “canlı olmayan” a özdeştir.
A,A olmayana özdeş olamaz.→”Canlı” , “canlı olmayan” a özdeş olamaz.
Örnek
İnsan canlıdır.
İnsan canlı olmayandır.

Bu iki önermeden biri mutlaka yanlıştır.
Çelişmezlik ilkesi, klasik mantıkta “A,A olmayan değildir.” biçiminde ifade edilir.
Üçüncü Halin Olanaksızlığı İlkesi
Üçüncü halin olanaksızlığı, “Bir şey ya kendisidir ya da kendisi olmayandır,üçüncü bir hal düşünülemez.” olarak ifade edilir.
Özdeşlik ve çelişmezlik ilkesi düşünme evrenimizi “a” ile “a olmayan” gibi iki alanla sınırlayarak bütünler.Üçüncü halin olanaksızlığı ilkesi ise birinci hal olan “a” ile ikinci hal olan “a olmayan” arasında üçüncü bir halin olanaksızlığını gösterir.Bu ilkeye göre bütün kavram ve önermeler ya “A” alanına ya da “A olmayan” alanına aittir.


Üçüncü halin olanaksızlığı ilkesine göre,çelişen iki kavram veya önerme arasında üçüncü bir kavram ve önerme olamaz. Birbiriyle çelişen iki yargının ikisi birden doğru olamaz, yalnızca biri doğrudur.
Örnek
İnsan canlıdır.
İnsan canlı olmayandır.
Bu iki önermeden biri kesin olarak doğrudur. Çünkü bu iki hal dışında üçüncü bir hal düşünülemez.
Üçüncü halin olanaksızlığı ilkesi,klasik mantıkta “A ile A olmayan arasında üçüncü bir hal olamaz.” olarak ifade edilir.
Doğru ve yanlış değer çiftini temel alan üçüncü halin olanaksızlığı ilkesinin evrenselliği, 20. yüzyılda kuşkuyla karşılanmıştır.


Çünkü sonsuzluk kavramının yer aldığı matematik ve fizikte iki değerli mantıkla açıklanamayan durumlar vardır. Örneğin “π sayısı” yazılışında seri sonsuza kadar devam eder (3,1416…).
Üçüncü halin olanaksızlığı ilkesinin karşılaştığı güçlükler iki değerli (doğru ve yanlış) mantığın yanında çok değerli mantıkların kurulmasına yol açmıştır.Örneğin;üç değerli mantığa göre doğru ve yanlış değerlerinin yanında üçüncü olarak belirsiz değer vardır.Olasılık mantığına göre doğru ile yanlış arasında sürekli ve sonsuz değer bulunur.


Yeter Sebep İlkesi
Özdeşlik, çelişmezlik ve üçüncü halin olanaksızlığı ilkeleri birbirine bağlı olduğu halde, yeter sebep ilkesinin onlarla bağlantısı yoktur.
Yeter sebep ilkesi, ilk defa W. Leibniz ( Laybniz, 1647-1716) tarafından akıl yürütme ilkesi sayılmıştır. Leibniz’e göre var olan her şeyin bir varoluş nedeni vardır.Yeter sebep olmadıkça hiçbir yargının doğruluğundan söz edilemez.Bir yargıyı temellendiren (yeter sebebi), başka bir yargıdır.
Mantık ilkelerinin aynı zamanda varlık ilkeleri olduğunu savunan düşünceye Yeni Çağda başka bir düşünceyle karşı çıkılmıştır.Bu düşünceye göre akıl,varlık hakkındaki gerçekliği yansıtan bir ayna değildir.akıl,duyu organları yoluyla varlıktan edindiğimiz izlenimleri kendine göre düzenleyen anlama ve bilme yetisidir.


Bu düzenleme işi insan aklına göre olduğundan varlık hakkındaki bilgimiz görelidir. Ancak, bu bilgi tüm insanlarda ortak olduğundan genel geçerlidir. (Kant-Kritisizm)
Kavram oluşturma, önerme kurma ve akıl yürütme adımlarından oluşan düşünme, mantık ilkelerine uygun olarak yapılır. Ama bu; kavram,önerme ve akıl yürütmelerin varlığın gerçek bilgisini gösterdiği anlamına gelmez. Mantık ilkeleri yalnızca kavram ve önermeler arası ilişkilerin tutarlılığını ve geçerliliğini denetleyen ve doğru düşünmemizi sağlayan ilkelerdir.


MANTIĞIN UYGULAMALARI

Mantığın konusu,doğru düşünmenin ilke ve kurallarıdır.Doğru bilgiye doğru düşünme biçimiyle ulaşılır.Bilgi;bilmek isteyen (süje) yani insan ile bilinmek istenen (obje) arasındaki ilişkiden doğan üründür.Bu ürüne,mantık ilke ve kurallarının varlık alanlarına uygulanmasıyla ulaşılır.Uygulamalı mantık, akıl ilke ve kurallarının her türlü bilgi etkinliğinde kullanılmasıdır. Doğru düşünme ilkelerini araştırmayı amaç edinmek salt mantığı,doğru düşünme ilkelerini araç olarak kullanmak ise uygulamalı mantığı doğurmuştur.
Mantık,günlük yaşantıda,bilimsel çalışmalarda ve felsefi etkinliklerde, eleştirel düşünmenin ve akılcı tartışmanın zorunlu yöntemidir.


Üzerinde düşündüğümüz alan ve konu ne olursa olsun, mantıktan bağımsız olamayız.Bu nedenle herhangi bir varlık alnında bilgi oluşturmak isteyenler mantık ilke ve kurallarını öğrenmek zorundadırlar.
Mantık; matematik,doğa bilimleri,eleştirel düşünme ve bilgisayar kullanımı gibi çeşitli alanlarda uygulanmaktadır.
Matematikte ispat (kanıtlama) işleminde mantık ilkeleri ve özellikle sembolik mantık dili kullanılır. Modern matematiğin temelinde sembolik mantık bulunur.
Doğa bilimlerinde, gerçek dünyadaki oluları deneysel yöntemle açıklamada ve bilgileri doğrulama ile geçerlilik kazandırma işleminde mantık dilinden yararlanılır.


Mantık,eleştirel düşünme ve akılcı tartışmaya da uygulanır. Doğru düşünme ilke ve kurallarına uygun düşünen insan, doğru düşüncelere ulaşmakta daha bilinçli davranır.Herhangi bir düşüncenin doğruluğuna inanmadan önce o düşüncenin tutarlı olup olmadığını,yeterince kanıtlanmış olup olmadığını denetler.Mantıklı düşünün insan, düşüncelerini karşı tarafa açık ve tutarlı bir biçimde anlatır.
MANTIK VE MATEMATİK
Matematik; sayılar, şekiller ve bunlar arasındaki ilişkileri inceleyen bilimdir. Sayı ve şekiller,gerçekte var olmayan salt düşünsel ürünlerdir.


Bu nedenle matematik de mantık gibi biçimsel(formel) bir disiplindir. Tek tek nesneler ve olgular hakkında bilgi üretmez. Bu yönüyle mantığa benzemektedir.Mantık da akıl yürütme ve çıkarımların içeriği ile değil biçimiyle yani formuyla ilgilidir.
Matematik Dilini Sembolleştirme
Formel bir bilim olan matematik de mantık gibi önermelerin içeriğindeki çok anlamlılıktan kurtulmak ister.Bu nedenle sembolik bir dil geliştirir.Matematik dili;konusu olan sayıları, şekilleri ve bunların ilişkilerini çeşitli değişmezlerle ifade eder. Ad,yüklem ve işlem değişmezlerinden oluşan bu sisteme matematiğin özel değişmezleri denir. Matematikte her sistem için ayrı özel değişmezler kullanılır. Örnek olarak doğal sayılar sistemini ele alalım:

Örnek
“0,1,2,3,4,5…” gibi sembollere ad değişmezleri,
“>,<“ gibi sembollere yüklem değişmezleri, “+,-” gibi sembollere işlem değişmezleri denir. Matematik,sembolleri kullanarak sembolik bir dil geliştirir. Ama mantık gibi tam bir sembolleştirme söz konusu değildir. Bu nedenle matematiksel önermeleri mantık diline çevirme ihtiyacı duyulur. Matematik önermelerini mantık diliyle sembolleştirmek için niceleme ve özdeşlik mantığının değişmezlerinin yanı sıra matematiğin kendi özel değişmezleri birlikte kullanılır. Sembolleştirmede öncelikle önermenin ait olduğu sistem belirlenir. O sisteme ait özel değişmezler belirtilir. Son olarak verilen önermedeki mantık değişmezleri tanımlanır ve yerlerine sembolleri konur. Örneğin;”Hiçbir doğal sayının ardılı sıfıra eşit değildir.” matematik önermesini sembolleştirelim. Önermenin ait olduğu sistem: Doğal sayılar sistemi Önermeye ait özel değişmezler: Ad değişmezi :0 (sıfır) Yüklem değişmezi :>,< -ikili yüklem değişmezi-
İşlem değişmezi :a (ardıl) -birli işlem değişmezi
+(artı), =(eşit) -ikili işlem değişmezi
Mantık değişmezleri
Niceleyici :her x ~(hiçbir…değildir)
Sembolleştirilmiş önerme :her x ~ A0≠0


Tanım-Aksiyom-Teorem
Ele alınan bir alanı,bir sistemi betimlemek ve açıklamak amacıyla öne sürülen önermelerden oluşmuş bütüne teori(kuram) denir.Teoriler belli bir dile ve tutarlılığa sahiptir.her teori ele aldığı alanın bütünü hakkında bilgiler içerir.Teorinin dilini oluşturan öğeler;tanımlar,aksiyomlar ve teoremlerdir.Doğruluğu açık ve seçik olan teori önermelerine aksiyom denir.Aksiyomlar başlangıç önermeleri olarak alınır.Örneğin;”Aynı şeye eşit olan iki şey birbirine de eşittir.” önermesi,doğruluğu açık seçik belli olduğundan bir aksiyomdur.aksiyomlardan türetilmiş önermelere ise teorem denir.Teoremlerin doğruluğu aksiyomlara dayanarak belirlenir. </div>

Yorum Yaz
Arkadaşların Burada !
Arkadaşların Burada !